Question

已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为-3和0．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）f'（x）=[ax²+（2a+b）x+b+c]e^x．令g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c，简化运算；

（Ⅱ）由f（x）的极小值为-1确定参数值，通过导数求极大值．

（Ⅰ）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（2a+b）x+b+c]e^x．

令g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c，

∵e^x＞0，

∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．

又∵a＞0，

∴当x＜-3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，

当-3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点，

所以有

c＝−1

b+c＝0

9a−3(2a+b)+b+c＝0

解得a=1，b=1，c=-1．

所以函数的解析式为f（x）=（x²+x-1）e^x．

又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

所以，函数f（x）的极大值为f(−3)＝(9−3−1)e−3＝

5

e3．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了导数的综合应用，属于中档题．