为什么大家都不认真看书呢,这个书上应该有吧?
这个不是常数变易法,是构造法.
设原微分方程是：y''+ay'+by=0,现已知y1=e^(rx)是方程的一个解,下面求另一个解,由于另一个解y2与y1=e^(rx)线性无关,因此设：y2/y1=u(x),即：y2=ue^(rx)
令其满足原微分方程,我们来求u即可,
先求y2=ue^(rx)的一二阶导数
[ue^(rx)]'=u'e^(rx)+rue^(rx)
[ue^(rx)]''=[u'e^(rx)+rue^(rx)]'=u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²e^(rx)
将y2=ue^(rx)代入原方程：
u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²ue^(rx) + a[u'e^(rx)+rue^(rx)] + bue^(rx)=0
消去e^(rx),整理得：u''+(2r+a)u'+(r²+ar+b)u=0 (1)
由于r²+ar+b是特征多项式,r是特征根,因此r²+ar+b=0
由于r是r²+ar+b=0的重根,因此r=-a/2,则2r+a=0
因此（1）化为：u''=0
因此u为一次函数或常数,由前面的题设知,u不是常数,因此u是一次函数,也就是说,当u取任意一个一次函数时,ue^(rx)均是微分方程的一个解,我们这里需要一个特定的u,因此取一次函数中最简单的一个,u=x,得方程的另一个解为：y2=xe^(rx)
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.