解题思路：（1）h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，等价于h'（x）=0在（0，+∞）有实根，且不为重根，由此可求a的取值范围；
（2）利用分析法证明，设P（x1，y1） Q（x2，y2），且x1＜x2，证明f′（m）＜g′（m），只要证明[2
x
1
+
x
2
＜
x
1
+
x
2
/2]-2即可．
（1）∵函数f（x）=lnx，g（x）=
1
2ax2+bx，（a≠0），b=2，
∴h（x）=lnx-
1
2ax2-2x，x∈（0，+∞）
∵h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，
∴h'（x）=
1
x−ax−2＝0在（0，+∞）有实根，且不为重根
即ax2+2x-1=0在（0，+∞）有实根，且不为重根
∴a＞0或
a＜0
△＝4+4a＞0
−
2
a＞0
−
1
a＞0]
∴a＞0或-1＜a＜0
∴a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．
（2）证明：f'（x）=[1/x]，g'（x）=x-2
设P（x1，y1） Q（x2，y2），且x1＜x2
PQ中点为（
x1+x2
2，
y1+y2
2），只要证明[2
x1+x2＜
x1+x2/2]-2
又只要证明：
2(x2−x1)
x2+x1＜
(x2+x1)(x2−x1)
2−2(x2−x1)
只要证明：
2(x2−x1)
x2+x1＜lnx2−lnx1
令
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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