Question

已知等差数列{a n }中，a 2 +a 4 =10，a 5 =9，数列{b n }中，b 1 =a 1 ，b n+1

Answer 1

（ I）设a _n=a ₁+（n-1）d，由题意得2a ₁+4d=10，a ₁+4d=9，a ₁=1，d=2，

所以a _n=2n-1， S n =n a 1 +

n(n-1)

2 d= n 2 ．…（4分）

（ II）b ₁=a ₁=1，b _n+1=b _n+a _n=b _n+2n-1，

所以b ₂=b ₁+1，b ₃=b ₂+3=b ₁+1+3，…

b n = b 1 +1+2+…+(2n-3)=1+(n-1 ) 2 = n 2 -2n+2 （n≥2），

又n=1时n ²-2n+2=1=a ₁，

所以数列{b _n}的通项 b n = n 2 -2n+2 ；…（9分）

（ III） c n =

2

a n • a n+1 =

2

(2n-1)(2n+1) =

1

2n-1 -

1

2n+1

∴ T n = c 1 + c 2 +…+ c n =(

1

1 -

1

3 )+(

1

3 -

1

5 )+…+(

1

2n-1 -

1

2n+1 )

= 1-

1

2n+1 =

2n

2n+1 ． …（14分）