Question

一道高中数学周期性有关的证明题已知函数f(x)满足f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)=f(

Answer 1

证明:

∵恒有f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)=f(x)f(x+1)f(x+2)f(x+3)f(x+4).

∴恒有f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)+f(x+5)=f(x+1)f(x+2)f(x+3)f(x+4)f(x+5)

两式相减,可得

f(x+5)-f(x)=f(x+1)f(x+2)f(x+3)f(x+4)[f(x+5)-f(x)]

移项,整理可知,恒有

[f(x+5)-f(x)][f(x+1)f(x+2)f(x+3)f(x+4)-1]=0

易知此时应有f(x+5)-f(x)=0

∴f(x+5)=f(x)

∴函数f(x)是周期为5的周期函数.