Question

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P

Answer 1

解题思路：先设切点坐标为（m，e^m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．

设切点坐标为（m，e^m）

∴该图象在点P处的切线l的方程为y-e^m=e^m（x-m）

令x=0，解得y=（1-m）e^m

过点P作l的垂线的切线方程为y-e^m=-e^-m（x-m）

令x=0，解得y=e^m+me^-m

∴线段MN的中点的纵坐标为t=[1/2][（2-m）e^m+me^-m]

t'=[1/2][-e^m+（2-m）e^m+e^-m-me^-m]，令t'=0解得：m=1

当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0

∴当m=1时t取最大值

1

2(e+e−1)

故答案为：

1

2(e+e−1)

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．