Question

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,a,b,c,d均为整数.求证a=b=c=d.

Answer 1

由已知,添项得

a＾4+b＾4-2a^2*b^2+2a^2*b^2+c＾4+d＾4-2c^2*d^2+2c^2*d^2-4abcd=0,即得

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2*b^2-2abcd+c^2*d^2)=0

又得

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0,

由于以上三项都是平方式,即都是非负数,所以只能是

(a^2-b^2)^2=0,可得a=正负b,

(c^2-d^2)^2=0,可得c=正负d,

2(ab-cd)^2=0,可得ab=cd,

无法求证,除非他们同号(正负区分)