若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长.

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  • 解题思路:根据抛物线方程得它的准线为l':x=-1,从而得到线段AB中点M到准线的距离等于3.过A、B分别作AC、BD与l'垂直,垂足分别为C、D,根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=6,结合抛物线定义即可算出AB的长.

    ∵抛物线方程为y2=4x,

    ∴抛物线的焦点为F(1,0),准线为l':x=-1

    设线段AB的中点为M(2,y0),

    则M到准线的距离为:|MN|=2-(-1)=3,

    过A、B分别作AC、BD与l'垂直,垂足分别为C、D

    根据梯形中位线定理,可得|AC|+|BD|=2|MN|=6

    再由抛物线的定义知:|AF|=|AC|,|BF|=|BD|

    ∴|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6.

    即线段AB的长为6

    点评:

    本题考点: 抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标,求该弦的长度.着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.