Question

应用逐项求导或逐项求积分求幂级数的和函数∑n^2·x^n

Answer 1

根据等比数列求和公式可得到：

∑x^n ＝ [ x^(k+1)－1] / (x－1) (求和项：n=0,1,...,k)

因为计算比较复杂,先将右边用f(x)代替,于是有：

∑x^n ＝ f(x)

等式两边求导得到：

∑nx^(n-1) ＝ f '(x) (求和项：n=0,1,...,k)

两边同乘以x,有：

∑nx^n ＝x f '(x) (求和项：n=0,1,...,k)

两边再次求导有：

∑n^2x^(n-1) ＝ f '(x) + xf ''(x) (求和项：n=0,1,...,k)

两边同乘以x,有：

∑n^2x^n ＝x f '(x) + x^2 f ''(x)

只需要把右边导数求出来,整理化简就可以得到通项公式了.

化简计算量比较大,公式比较复杂.