新高考数列选题
1．（2000天津）（15）设 是首项为1的正项数列,且 （ =1,2,3,…）,则它的通项公式是 =_______.
2．（2003天津文）5．等差数列 （D ）A．48 B．49 C．50 D．51
3．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和,且 则 是 （B ）
（A）等比数列,但不是等差数列 （B）等差数列,但不是等比数列
（C）等差数列,而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
4．（2000天津理）（21）（本小题满分12分）
（I）已知数列 ,其中 ,且数列 为等比数列,求常数 .
（II）设 、 是公比不相等的两个等比数列,,证明数列 不是等比数列.
5．（2000天津文）（19）（本小题满分12分）
设 为等差数列,为数列 的前 项和,已知 ,,为数列 的前 项和,求 .
6．（2002天津理）21、（本题满分12分）已知两点 ,且点 使 ,,
成公差小于零的等差数列.
（1）点P的轨迹是什么曲线?
（2）若点P坐标为 ,记 为 与 的夹角,求 .
7．（2002天津理）22、（本题满分14分）已知 是由非负整数组成的数列,满足 ,,.
(1)求 ；
(2)证明 ；
(3)求 的通项公式及其前 项和 .
8．（2003江苏理）（22）（本小题满分14分）
设 ,如图,已知直线 及曲线 上的点 的横坐标为 作直线平行于 轴,交直线 作直线平行于 轴,交曲线 的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求 的关系,并求 的通项公式；
（Ⅱ）当 时,证明
（Ⅲ）当 时,证明
9．（2003天津理）（22）（本小题满分14分）
设 为常数,且 ．
（Ⅰ）证明对任意 ≥1,；
（Ⅱ）假设对任意 ≥1有 ,求 的取值范围．
10．（2003天津文）19．（本题满分12分）
已知数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明
参考答案
1.; 2.c ; 3.B; 5.设等差数列 的公差为 ,则
∵ ,,∴ 即
解得 ,.∴ ,∵ ,∴ 数列 是等差数列,其首项为 ,公差为 ,∴ .
10.（Ⅰ）∵a1=1 .∴a2=3+1=4,a3=32+4=13 .
（Ⅱ）证明：由已知an－an－1=3n－1,故
所以证得 .
9.（1）证法一：（i）当n=1时,由已知a1=1－2a0,等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立,则
那么
也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据（i）和（ii）,可知等式对任何n∈N,成立.
证法二：如果设 用 代入,可解出 .
所以 是公比为－2,首项为 的等比数列.
即
（2）解法一：由 通项公式
等价于 ……①
（i）当n=2k－1,k=1,2,…时,①式即为
即为 ……②
②式对k=1,2,…都成立,有
（ii）当n=2k,k=1,2,…时,①式即为
即为 ……③ ③式对k=1,2,…都成立,有
综上,①式对任意n∈N*,成立,有
故a0的取值范围为
解法二：如果 （n∈N*）成立,特别取n=1,2有
因此 下面证明当 时,对任意n∈N*,
由an的通项公式
（i）当n=2k－1,k=1,2…时,
（ii）当n=2k,k=1,2…时,
故a0的取值范围为
8.∵
∴ ∴
,∴
（Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知,当a=1时,
因此
=