我们令 y=sinx/√(5+4cosx) ,那么有 y^2=(sinx)^2/(5+4cosx) =[1-(cosx)^2]/(5+4cosx),
整理可得：(cosx)^2+4(y^2)cosx+5y^2-1=0 ,显然这是一个关于变量 cosx 的一元二次方程.由题意,x∈[0,2π],即说明上面的一元二次方程有解 cosx 存在.再由解存在的判别定理得：
Δ=b^2－4ac=16y^4－4(5y^2－1)≥0 ,化简得：4y^4－5y^2+1≥0 ,解不等式得：
0≤y^2≤1/4 ,或 y^2≥1 .
因为1≤5+4cosx≤9 ,而0≤(sinx)^2≤1 ,并且 5+4cosx 和 (sinx)^2 不能同时等于1(为什么?自己想一想),所以应该舍去 y^2≥1 的情况.
再由 0≤y^2≤1/4 进一步化简为：-1/2≤y≤1/2 ,所以 f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)的值域一定包含于[-1/2,1/2]之内.【请注意!这里并没有说函数的值域就是[-1/2,1/2] ,而是说包含于[-1/2,1/2] ,为什么?请从逻辑推理的角度想一想,这里的推理并不能保证函数的值域等于 [-1/2,1/2] ,推理只是告诉我们函数的取值不会超过 区间[-1/2,1/2] .】
下面证明函数的值域就是区间 [-1/2,1/2] .
证明：
假设 Y 是区间 [-1/2,1/2] 中的任意一个数值,则方程 Z^2+4(Y^2)Z+5Y^2-1=0 有解,其中的一个解为 Z= -2Y^2+√(4Y^4－5Y^2+1) .再由 -1/2≤y≤1/2 ,可以得到：
0≤√(4Y^4－5Y^2+1)≤1 且 -1/2≤-2Y^2≤0 ,所以
-1/2≤-2Y^2+√(4Y^4－5Y^2+1) ≤1 ,即-1/2≤Z≤1 .这说明存在满足0≤x≤2∏的实数 x ,使得 Z=cosx .进而说明对于区间 [-1/2,1/2] 中的任意一个数值Y ,存在 cosx （0≤x≤2∏) ,使得 Y=sinx/√(5+4cosx) .所以有结论：区间 [-1/2,1/2]中的任何一个数都是函数f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)值域中的值.结合前面的讨论【即 f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)的值域一定包含于[-1/2,1/2]之内】可以知道,函数的值域就是区间 [-1/2,1/2] .
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备注：本题若是选择题,可以不用考虑后面的证明,虽然那样不严谨,但一般不会有错,考试嘛,不会考得太复杂.本题若是计算题,那后面的证明绝对不可少!