如果不是分解成整式相乘的话,这样的题目也太强人所难了.题目中应该是 +184,否则无法分解成整式.
x^4-9x^3-18x^2+184x+192
=x^4-8x^3 - x^3+8x^2 -26x^2+208x - 24x+192
=x^3(x-8) - x^2(x-8) -26x(x-8) - 24(x-8)
=(x-8)*(x^3-x^2-26x-24)
其中 x^3 -x^2 -26x -24
=x^3 -6x^2 + 5x^2 -30x + 4x-24
=x^2(x-6) + 5x(x-6) + 4(x-6)
=(x-6)(x^2+5x+4)
=(x-6)(x+4)(x+1)
因此 原式 = (x-8)(x-6)(x+1)(x+4)
x=8、6、-1、-4 时,上式值等于0.
因式分解,主要依靠观察,通过观察 凑出一个公因式,然后提出公因式.
然而在复杂情况下,例如你这个题目,有很多项 同时 方次又很高,仅仅通过观察 来寻找公因式,简直难如登天.所以你一定感觉很奇怪,我在上面是如何想到经过变换可以凑出一个 (x-8) 的公因式的呢.
首先我们要坚信,这既然是被人故意编出的一道题目,那么一定能分解成整式.如果分解后 因式中含有 根式、分式的话,那么编写这样的题目也未免太荒唐太离谱了.
以能分解成整式的设想为基础,我们可以假设
x^4-9x^3-18x^2+184x+192 = (x+a)(x+bx^2+cx+d)
其中 a b c d 都是待定的 整数.
(x+a)(x^3+bx^2+cx+d)
=x^4 + (a+b)x^3 + (ab+c)x^2 + (ac+d)x + ad
与原式子做比较,可以列出以下方程
a+b = -9
ab+c = -18
ac+d = 184
ad =192
对这4个方程进行观察,重点从 192 这个数字入手.
192 = 192×1 = 96×2 = 48×4 = 32×6 = 24×8 = 12×16
以及上述各数的相反数的乘积,例如 (-192)×(-1)
a和d 一定是上述数字的组合.
接下来 利用口算,对各种可能性进行尝试.
例如 设 a=-2 ,那么 d =-96 ,代入第一个方程 则 b= -7.再带入第二个方程则 c = -32.以 a=-2、c=-32、d=-96带入第三个方程,(-2)*(-32) - 96 = 64 -96 ,显然不等于 184.因此 a=-2的假设不成立.
经过尝试,你不用多长时间就可以发现 a = -8、-6、4、1 时候,b c d 都能获得整数解.
看到这,你又一定以为,这种尝试整数解的方法真麻烦.但没有更好的出路.靠观察,寻找公因式,这是一种 巧法.但 巧法需要 赶巧.如故赶巧想到了,10分钟能做出.但是一旦不碰巧、想不到,那么10个小时也做不出.而 尝试整数解这种笨法 虽然不能在10分钟内做出结果,但是在半小时内一定能做出