根据条件可分类讨论
1) m=0,则f(x)=-8x=1,g(x)=0,取x=-1,f(1)=-7,g(1)=0,不满足若对于任一实数x,
fx与gx至少一个为正数,因而该条件舍去
2) m≠0根据条件可知g(x)是一条直线,不管x取什么值,都会横穿y轴,
所以g(x)值的范围是所有实数,因此要让条件成立只需要让f(x)>0即可
对f(x)进行配方得到
f(x)=2m[x-[(4-m)/2m]]^2+1-[(4-m)/2m]^2
根据二次函数性质x的系数决定函数开口方向,因此可知当m>0时,开口方向向上
在x=(4-m)/2m时,取得最小值Ymin=1-[(4-m)/2m]^2
只要让Ymin>0,即可求得m的取值范围,对Ymin化简,和因式分解得到
(3m-4)(m+4)<0, m范围是-4
0,所以最终的范围是0
综合1),2)的分析最终得到的m范围是0
2设PA=PB=X(x>0),∠APO=α,
则∠APB=2α,由勾股定理得PO=根号(1+x^2),
sinα=1/根号(1+x^2),
向量PA*向量PB=|PA*PB|cos2α=x^2(1-2sin^2α)={x^2(x^2-1)}/(1+x^2)
=(x^4-x^2)/(1+x^2),
令向量PA*向量PB=y,
则y==(x^4-x^2)/(1+x^2),
即x^4-(1+y)x^2-y=0,
由于x^2是实数∴△={-(1+y)}^2-4×1×(-y)≥0,
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
x^2>0,设x^2=t,
方程x^4-(1+y)x^2-y=0可以化为t^2-(1+y)t-y=0,
根据韦达定理得:t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时,t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1,t2都是负值,因为x^2=t>0,所以不合题意,舍去。
当y≥-3+2√2时,t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1,t2都是正值,符合题意。
故(向量PA*PB)min=-3+2√2
此题引用了 http://zhidao.baidu.com/question/274719650.html