设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是(-∞,[1/3]](-∞

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  • 解题思路:先求导函数f'(x),函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数转化成f'(x)≤0在区间(0,4)上恒成立,讨论k的符号,从而求出所求.

    f'(x)=3kx2+6(k-1)x,

    ∵函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,

    ∴f'(x)=3kx2+6(k-1)x≤0在区间(0,4)上恒成立

    当k=0时,成立

    k>0时,f'(4)=48k+6(k-1)×4≤0,即0<k≤[1/3],

    k<0时,f'(4)=48k+6(k-1)×4≤0,f'(0)≤0,k<0

    故k的取值范围是k≤[1/3],

    故答案为:(-∞,[1/3]].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,同时考查了分析与解决问题的综合能力,属于基础题.