Question

求前n个自然数的平方和公式要求有推导过程,最好用倒数法推导.

Answer 1

1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

用数学归纳法：

n=1时,1=1*2*3/6=1成立

假设n=k时也成立,那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²

那么n=k+1

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)

所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

=（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

即n=k+1时,也成立

所以

1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

过程你自己写完整,也可以推导,但是过程有点复杂...