Question

设n为正整数,n＞1,证明：log以（n+1）为底n的对数乘以log以（n+1）为底（n+2）的对数＜1

Answer 1

利用换底公式,原式可化为

ln(n)/ln(n+1) * ln(n+2)/ln(n+1) 1,ln(n+2)>ln(n+1)>0,因此不等号式的等价于

ln(n)/ln(n+1) < ln(n+1)/ln(n+2)

设计函数 f(x) = ln(x)/ln(x+1),(x>1),则

f'(x) = [1/x* ln(x+1) - ln(x)*1/(x+1)]/ln²(x+1)

= [(x+1)*ln(x+1) - x*ln(x)]/ln²(x+1) >0

即,x>1时 f(x)为增函数

n f(n) ln(n)/ln(n+1) * ln(n+2)/ln(n+1)