Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1-sin[C/2]

Answer 1

解题思路：（1）已知等式变形，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据sin[C/2]不为0，整理后即可求出sinC的值；

（2）由sin[C/2]-cos[C/2]的值大于0，求出[C/2]的范围，进而求出C的范围，由sinC的值求出cosC的值，已知等式变形后利用非负数的性质求出a与b的值，再由余弦定理即可求出c的值．

（1）由已知得：sinC+sin[C/2]=1-cosC，

∴sin[C/2]（2cos[C/2]+1）=2sin²[C/2]，

∵sin[C/2]≠0，

∴2cos[C/2]+1=2sin[C/2]，即sin[C/2]-cos[C/2]=[1/2]，

两边平方得：1-sinC=[1/4]，

则sinC=[3/4]；

（2）∵sin[C/2]-cos[C/2]=[1/2]＞0，

∴[π/4]＜[C/2]＜[π/2]，即[π/2]＜C＜π，

∵sinC=[3/4]，∴cosC=-

7

4，

由a²+b²=4（a+b）-8，得（a-2）²+（b-2）²=0，

解得：a=b=2，

由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+4-8×（-

7

4）=8+2

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及非负数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．