Question

已知函数f（x）=e x -ln（x+m）

Answer 1

（Ⅰ）∵ f ′ (x)= e x -

1

x+m ，x=0是f（x）的极值点，∴ f ′ (0)=1-

1

m =0 ，解得m=1．

所以函数f（x）=e ^x-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．

∵ f ′ (x)= e x -

1

x+1 =

e x (x+1)-1

x+1 ．

设g（x）=e ^x（x+1）-1，则g ^′（x）=e ^x（x+1）+e ^x＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，

又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f ^′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f ^′（x）＜0．

所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．

当m=2时，函数 f ′ (x)= e x -

1

x+2 在（-2，+∞）上为增函数，且f ^′（-1）＜0，f ^′（0）＞0．

故f ^′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x ₀，且x ₀∈（-1，0）．

当x∈（-2，x ₀）时，f ^′（x）＜0，当x∈（x ₀，+∞）时，f ^′（x）＞0，

从而当x=x ₀时，f（x）取得最小值．

由f ^′（x ₀）=0，得 e x 0 =

1

x 0 +2 ，ln（x ₀+2）=-x ₀．

故f（x）≥ f( x 0 )=

1

x 0 +2 + x 0 =

( x 0 +1 ) 2

x 0 +2 ＞0．

综上，当m≤2时，f（x）＞0．