解题思路：根据已知中函数f （x）=
x
2
+ax+7+a
x+1
，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥
−[(x+1)+
8
x+1
]+6
恒成立，进而将其转化为a≥g（x）max=
−[(x+1)+
8
x+1
]+6
，解不等式可得a的取值范围．
∵函数f （x）=
x2+ax+7+a
x+1，且f （x）≥4，对于任意的x∈N*恒成立
即a≥−
x2−4x+3
x+1=−
(x+1)2−6(x+1)+8
x+1=−[(x+1)+
8
x+1]+6
令g（x）=−[(x+1)+
8
x+1]+6，则g（x）≤6-4
2，当且仅当x=2
2-1时g（x）取最大值
又∵x∈N*，
∴当x=2时，g（x）取最大值[1/3]
故a≥[1/3]
即a的取值范围是[[1/3]，+∞）
故答案为：[[1/3]，+∞）
点评：
本题考点： 基本不等式；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．