Question

下列7个判断：①若f（x）=x2-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；②函数f（x）=2x-x2只有两个零点；③函数

Answer 1

解题思路：①由f（x）是二次函数，根据二次函数的图象与性质，判定函数的单调区间即可；②在同一坐标系内画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象交点的个数判定f（x）的零点个数；③由x2≥0，求出函数y=ln（x2+1）的值域即可；④由|x|≥0，求出函数y=2|x|的最小值即可；⑤由f（x）=2|x|是R上的偶函数，判定函数y=2x与y=2-x的对称问题即可；⑥当a＞1时，由指数函数、对数函数的图象与性质判定log0.2a、0.2a与a0.2的大小即可；⑦由f（x）是偶函数且在[0，+∞）上是增函数，可以判定f（-2）、f（-3）与f（π）的大小．

①当f（x）=x²-2ax在[1，+∞）上是增函数时，

二次函数图象的对称轴x=a≤1，

∴命题①错误；

②考查函数y=2^x，y=x²的图象，如图

，

由图象知两函数有3个交点，

∴f（x）=2^x-x²有3个零点，

∴命题②错误；

③∵x²≥0，

∴x²+1≥1，

∴ln（x²+1）≥0；

∴函数y=ln（x²+1）的值域是[0，+∞）；

∴③错误；

④∵|x|≥0，

∴2^|x|≥2⁰=1，

∴函数y=2^|x|的最小值是1；

∴命题④正确；

⑤∵f（x）=2^|x|，是R上的偶函数，图象关于y轴对称，

∴在同一坐标系中，函数y=2^x与y=2^-x的图象关于y轴对称，

∴命题⑤正确；

⑥∵a＞1，

∴log_0.2a＜log_0.21=0，

0＜0.2^a＜0.2¹=0.2，

1=a⁰＜a^0.2，

∴log0.2a＜0.2a＜a0.2；

∴命题⑥正确；

⑦∵偶函数f（x）的定义域为R，

∴f（-2）=f（2），

f（-3）=f（3），

当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，

∴f（2）＜f（3）＜f（π），

∴f（-2）＜f（-3）＜f（π），

∴命题⑦错误；

所以，以上命题正确的是④⑤⑥；

故答案为：④⑤⑥．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题通过命题真假的判定考查了对称轴，单调性与奇偶性，以及利用单调性比较函数值的大小问题，是综合题目．