已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).

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  • 解题思路:先将二次函数配方得:-4

    (x−

    a

    2

    )

    2

    -4a,下面对对称轴与所给区间的位置关系进行讨论,对每一种情况求出相应的最大值,再利用题中条件:“有最大值-5”得方程即可求得a值,从而进一步求得函数表达式f(x).

    解∵f(x)=-4(x−

    a

    2)2-4a,此抛物线顶点为(

    a

    2,−4a).

    当[a/2]≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去).

    当0<[a/2]<1,即0<a<2时,x=[a/2]时,f(x)取最大值为-4a,令-4a=-5,得a=[5/4]∈(0,2).

    当[a/2]≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2

    令-4a-a2=-5,得a2+4a2-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].

    综上所述,a=[5/4]或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.

    ∴f(x)=-4x2+5x-[25/16]或f(x)=-4x2-20x-5.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质;函数的最值及其几何意义.

    考点点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、函数的最值及其几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.