首先纠正你的一个认识错误,复合函数没有一阶的不变性这一点是正确的,但是你说把e^(x^2)看成复合函数后,对e^(x^2)求n阶导后的结果与直接将x^2代入进去的结果不一样,这是错误的.
为什么呢?
其实幂级数的展开一般无非就是两种方法,一种是用等比数列求和公式把原式逆推成幂级数,这个我想很简单,你应该懂.第二种方法就是图片中的方法,对函数求n阶导,他的实质就是原函数的n阶泰勒级数展开,而你图片里的式子就是将原函数在 x=0点处作泰勒级数展开.
那么为什么会让你产生把e^(x^2)当成复合函数求n阶导后的结果不对呢?
e^x 零阶导数 e^x 一阶导数 e^x 二阶导数 e^x
后面的各阶导数都一样
对应的各阶泰勒级数为 零阶 e^0乘以(x-0)^0除以0!= 1
一阶 e^0乘以（x-0)^1除以1!= x
二阶 e^0乘以（x-0)^1除以2!= x/2!
后面的结果我就不写了,总之最后的展开式就如途中的式子一样.
e^(x^2) 它的各阶导数 零阶 e^(x^2) 当x=0时,它的值为 1
一阶 2x乘以e^(x^2) 0
二阶 2e^(x^2) +4x^2乘以 e^(x^2) 2
三阶 12x乘以e^(x^2) + 8x^3乘以e^(x^2) 0
四阶 12e^(x^2) + 8x^2乘以e^(x^2)+24x^2乘以 e^(x^2)+16x^4乘以 e^(x^2) 12
五阶 各项都含有因子x 0
六阶 120e^(x^2) + 某个含有因子x的多项式 120
后面的以此类推,复合函数的高阶导数计算非常复杂,一般只能用归纳法来表示,这里我就不一一给你算了,你自己有兴趣的话可以自己去试下,综上所述,你可以很直观的看到：
e^(x^2)在x=0处,各阶偶次阶的导数不为零,而他的奇次阶的导数为0
他的偶次阶的导数值在x=0处除了第一项以外,其他各项可以用归纳法得出,他的值就等于：
n!/ (n/2)!
所以,e^(x^2) = 1*1 +0*x + 2/2!* x^2 +0/3!* x^3 + 12/4!* x^4 + 0/5!* x^5 + 120/6!* x^6 +.
= 1 +0 + x^2 +0 + x^4/2!+0 + x^6/3!+.
= 1 + x^2 + x^4/2!+ x^6/3!+ .+(x^2)^n /n!+.结果与把x^2直接代入一样
对比 e^x= 1 + x + x^2/2!+ x^3/3!+ .+x^n /n!+.
通过对比后,你就发现,在两个式子中,同样位置的一项,比如说x^n /n!和(x^2)^n /n!,他们在各自等式右边展开式中的位置都是第n+1项,但对x^n /n!来说是他是e^x的n阶泰勒展开,而对于(x^2)^n /n!来说,他其实是e^(x^2)的2n阶泰勒展开,我猜你可能把他误以为是e^(x^2)的n阶泰勒展开,才会导致你认识上的错误.
归根究底,我猜测你发生错误的原因是：
你没有意识到你发的图片中的幂级数的展开是原式在x=0处的泰勒级数展开.
一定要看出这两个式子是原函数在x=0处经过泰勒级数展开后所得到的幂级数,也就是说是把原函数在x=0处展开成幂级数.这个条件很重要,因为只有这样,函数e^(x^2)的展开,先把e^x在x=0处展开成幂级数,把x^2直接带入才能够成立,因为你可以把 x^2看成新自变量y,x^2=y,当y=0时,x=0,此时e^(x^2)= e^y,你把e^y在y=0出展开,再把y=x^2代入进e^y的泰勒展开式中以后,原来的结果不变.如果原函数不是在x=0处展开,比方说是在x=2处展开,此时x^2=4.另外在这个时候 e^(x^2)的奇次阶导数在x=2处显然不为0,而他的偶次阶导数也将变得非常非常的复杂,而相对来说e^x在x=2处的幂级数展开还是相对比较简单的,而这时候如果再把x^2带入到e^x的展开式中来求e^(x^2)就很明显是错误的了,因为这时候两者的幂级数展开式就连形式上的这种巧合的相似性都不存在了.而你图片中的两个式子的展开式看上去在形式上很相似是因为这两个函数的幂级数展开式在x=0这个特殊的点上,恰巧看上去差不多.