解题思路：（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P=
A
100
20
100
20
，再证明
A
100
20
100
20
[100×99×…×81
100
20
(
9/10
)
19
100
90
(
90
100
)
20
，即证明99×98×…×81＜（90）19，最后证明
(
9
10
)
19
＜e-2，即证
(
10
9
)
19
＞e2，即证19ln
10
9]＞2，即证ln[10/9][2/19]，而这个结论由（1）所得结论可得
（Ⅰ）证明：∵f′（x）=
1
1+x-
2(x+2)-2x
(x+2)2=
x2
(x+2) 2(x+1)，
∴当x＞-1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=
A20100
10020，要证P＜(
9
10)19＜[1
e2．
先证：P=
A20100
10020＜(
9/10)19，即证
100×99×…×81
10020]＜
100
90(
90
100)20
即证99×98×…×81＜（90）19
而99×81=（90+9）×（90-9）=902-92＜902
98×82=（90+8）×（90-8）=902-82＜902…
91×89=（90+1）×（90-1）=902-12＜902
∴99×98×…×81＜（90）19
即P＜(
9
10)19
再证：(
9
10)19＜e-2，即证(
10
9)19＞e2，即证19ln[10/9]＞2，即证ln[10/9]＞[2/19]
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-[2x/x+2]，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=[1/9]，则ln（1+[1/9]）-
点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．
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