第一章 高中数学解题基本方法
配方法
x09配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.
x09最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.
x09配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：
x09a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
x09a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
x09a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
x09a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
x09结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：
x091＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x09x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等.
x09Ⅰ、再现性题组：
x091. 在正项等比数列{a}中,aa+2aa+aa=25,则 a＋a＝_______.
x092. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.
x09 A. －1,则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________.
x098. 已知〈β1,m∈R,x＝logt＋logs,y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
将y表示为x的函数y＝f(x),并求出f(x)的定义域；
若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求m的取值范围.
二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4＋2－2≥0,先变形为设2＝t（t>0）,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝＋的值域时,易发现x∈[0,1],设x＝sinα ,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时,则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.
均值换元,如遇到x＋y＝S形式时,设x＝＋t,y＝－t等等.
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,].
x09Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________.
2.设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1）,则f(x)的值域是_______________.
3.已知数列{a}中,a＝－1,a·a＝a－a,则数列通项a＝___________.
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0,则x＋y的取值范围是___________.
5.方程＝3的解是_______________.
6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是_______________.
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,],则y＝＋t－,对称轴t＝－1,当t＝,y＝＋；
2小题：设x＋1＝t (t≥1),则f(t)＝log[-(t-1)＋4],所以值域为(－∞,log4]；
3小题：已知变形为－＝－1,设b＝,则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n,所以a＝－；
4小题：设x＋y＝k,则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y,则3y＋2y－1＝0,解得y＝,所以x＝－1；
6小题：设log(2－1)＝y,则y(y＋1)0,它对一切实数x恒成立,所以：
,解得 ∴ tax＋的解集是(4,b),则a＝________,b＝_______.
函数y＝2x＋的值域是________________.
在等比数列{a}中,a＋a＋…＋a＝2,a＋a＋…＋a＝12,求a＋a＋…＋a.
y D C A B O x
实数m在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sinx＋2mcosx＋4m－10,y>0)上移动,且AB、AD始终平行x轴、y轴,求矩形ABCD的最小面积.
三、待定系数法
x09要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值,都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.
x09待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.
使用待定系数法,它解题的基本步骤是：
x09第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；
x09第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；
x09第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.
x09如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：
利用对应系数相等列方程；
由恒等的概念用数值代入法列方程；
利用定义本身的属性列方程；
利用几何条件列方程.
x09比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程.
x09Ⅰ、再现性题组：
设f(x)＝＋m,f(x)的反函数f(x)＝nx－5,那么m、n的值依次为_____.
A. , －2 B. － , 2 C. , 2 D. － ,－2
二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,),则a＋b的值是_____.
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
在(1－x)（1＋x）的展开式中,x的系数是_____.
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
函数y＝a－bcos3x (