1、由题意,知
P在线段AB的延长线上,
所以B在线段AP上,
所以B分向量AP所成的比是m=2,
设P(x,y),则根据定比分点公式,得
B的坐标是((2+2x)/3,2y/3),
因为B在圆上,所以(2+2x)^2+(2y)^2=36,
即(x+1)^2+y^2=9,
此即P的方程.
2、可以先假设存在,再尝试寻找它,
根据y^2=2px,可以设A((y1)^2/(2p),y1),B((y2)^2/(2p),y2),
因为向量OA和OB的数量积为0,
所以得x1x2+y1y2=0,
又因为y1和y2都不能为0,
所以y1y2=-4p^2,
利用两点式,得AB的方程是
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1),
令y=0,得
x
=x1-y1*(x2-x1)/(y2-y1)
=(y1)^2/(2p)-y1*(y1+y2)/(2p)
=-(y1y2)/(2p)
=2p.
即直线AB恒过点(2p,0),
所以存在定点M满足题意.