1.
近地点就是椭圆的横向顶点中,离地球近的那个点,
所以|AF1|=P+R
远地点就是椭圆的横向顶点中,离地球远的那个点,
所以|BF1|=Q+R
注意到|AF1|+|BF1|=2a=P+Q+2R
a=R + (P+Q)/2
又因为|AF1|=a-c
所以c=(Q-P)/2
根据椭圆性质
b=√(a^2 - c^2)=√(R^2 + (P+Q)R + PQ)
短轴长=2b=2√(R^2 + (P+Q)R + PQ)
2.
设P(2k^2 , 2k)
则P在抛物线上.
|PA|^2=(2k^2 -2/3)^2 + (2k)^2=4/9 * (9k^4 +3k^2 +1)
=4/9 * [(3k^2 + 1/2]^2 + 3/4]>=1/3
取到最小值1/3时,k^2=1/6 k=±1/√6
所以|PA|最小距离是1/√3
此时P的坐标为(1/3 , ±2/√6)
3.
(1)x=- a^2 / √3
因为b^2>c^2=3
所以直线一定在F1左边,
即a^2 / √3 = √3 + √3 / 3
解得a=2
所以椭圆长轴长=2√(2^2 + (√3)^2)=2√7
所以椭圆解析式为x^2 / 7 + y^2 / 4 = 1
(2)倾斜角为锐角,所以k>0
设直线AB解析式为y-0=k(x-√3)→y=kx - √3 * k
与椭圆解析式联立：
化简得：(7k^2 + 4)x^2 - 14√3 k^2 x + 21k^2 - 28 = 0
由题意BF2 = 3 F2A
所以x2 - √3 = 3（√3 - x1）
解得3x1 + x2 = 4√3
又因为x1+x2= -b/a= 14√3 k^2 / (7k^2 + 4)
x1 * x2 = c/a = (21k^2 -28)/(7k^2 + 4)
三个未知数三个方程,k可解.
但是做到这里,我没有什么更好的方法了,
所以我帮你死算了一下,结果很悲剧,
最后是关于k^2的方程：
147 k^4 + 140 k^2 + 20 = 0
看得出来左边恒正,不可能等于0.
于是我得出的结果是,此直线不存在……
T T...
反正方法就是向刚才那么算,
抱歉,我的计算功底还不够强……
等待高人解决……