Question

已知Sn是数列｛an｝的前n项和,an>0,n∈N*,并且Sn=1/2*(an+1/an)

Answer 1

（1）a1=S1=(1/2)(a1+1/a1),

a1^2=1,a1>0,

∴a1=1.

1+a2=(1/2)(a2+1/a2),

a2^2+2a2-1=0,a2>0,

∴a2=-1+√2,.

a3+√2=（1/2）(a3+1/a3),

a3^2+2√2a3-1=0,a3>0,

∴a3=√3-√2.

猜an=√n-√（n-1).

(2)n=1时公式成立,

假设n=k时公式成立,即ak=√k-√（k-1),那么

Sk=√k,

于是√k+a=(1/2)[a+1/a],

∴a^2+2√ka-1=0,a>0,

∴a=√（k+1)-√k,

即n=k+1时公式也成立.

∴对n∈N*,公式都成立.