首先我先解释一下,你例子中的这个积分是第一型曲线积分,也可以说第一型曲线积分是由这个物理问题抽象出来的数学公式.
下面我来回答你的问题.
1.这个密度分布函数是个什么东西?怎么是二元的?（两个自变量）
答：这个问题我分2方面回答你,首先说明密度与位置的关系,其次说明为什么函数是二元的.
1）所谓的密度分布函数,就是这个零件在某一点上的密度,由于这个零件有可能不是均匀材质制作的,所以这个零件的不同位置的密度也不完全相同,即密度随位置的变化而变化.所以密度是位置的函数.
2）我们应该看到,这个零件是放在x0y平面上的,即当x取某一个值时,y的取值并不唯一（例如这个零件是一个圆环）,所以如果位置仅有x确定,则密度有可能有1个或者1个以上的数值,所以位置需要有两个变量（即x,y）决定,即它是二元函数.
2.二元函数怎么会在L上且在L上连续?（因为上面有个图,L分明是一元函数曲线,二元函数能在一元函数曲线上连续?）
答：这个图我没有看,不清楚,但是我想这个L应该是一个曲线,由第一问可以知道,这个函数是一个二元函数,所以其定义域是二元的,这条曲线L并不是一元函数,而是二元的定义域.
3.dm=ρ(x,y)ds咋来的?
答：这个是微分的表达式,你可以这样理解,s就是面积,ds就是很小的面积；
m是质量,dm就是在ds上的质量,当ds很小的时候近似为一个点,而它的密度是ρ(x,y),所以他的质量就是dm=ρ(x,y)ds
4.∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy
答：这个是第二型曲线积分,是根据变力在路径上做功这个物理模型抽象出来的数学积分.如果你还是不能理解,可以看看《数学分析》,或者看看有关第一型曲线积分和第二型曲线积分的介绍