Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)上任意两点A.B,且OA垂直OB ,

Answer 1

1.OA为y=kx,x²2/a²2+y²2/b²2=1,x²=a²b²/(a²k²+b²),y²=k²a²b²/(a²k²+b²),

│OA│=ab√[(1+k²)/(a²k²+b²)]；

2.OB为y=-1/kx,x²=k²a²b²/(b²k²+a²),y²=a²b²/(b²k²+a²),

│OB│=ab√[(1+k²)/(b²k²+a²)]；k=sinα/cosα

│OA│*│OB│=a²b²√(cos²α+sin²α)/[(a²sin²α+b²cos²α)]*√(cos²α+sin²α)/[(b²sin²α+a²cos²α)]

=a²b²√[1/(a²sin²α+b²cos²α)*(b²sin²α+a²cos²α)]

=a²b²/√[a²b²(sin²α+cos²α)²+(a²-b²)²sin²αcos²α]

=a²b²/√{a²b²+[(a²-b²)²/4]*sin²2α} 当sin²2α=1时分母最大

│OA│*│OB│的最小值=a²b²/√{a²b²+[(a²-b²)²/4]=2a²b²/(a²+b²)