设函数f(x)可导,且f(0)=0,F(x)=∫x0tn-1f(xn-tn)dt,求limx→0F(x)x2n.

1个回答

  • 解题思路:要求limx→0F(x)x2n,必须先把函数F(x)的表达式求出来,而F(x)又要通过换元法将其表达式化简,然后再代入极限中利用洛必达法则计算即可.

    ∵F(x)=

    ∫x0tn−1f(xn−tn)dt=−

    1

    n

    ∫x0f(xn−tn)d(xn−tn),

    令:u=xn-tn,则:

    F(x)=−

    1

    n

    ∫0xnf(u)du=

    1

    n

    ∫xn0f(u)du,

    lim

    x→0

    F(x)

    x2n=

    lim

    x→0

    1

    n

    ∫xn0f(u)du

    x2n

    =[1/n

    lim

    x→0

    nxn−1f(xn)

    2nx2n−1]

    =[1/2n

    lim

    x→0

    f(xn)

    xn]

    =[1/2n

    lim

    x→0

    f(xn)−f(0)

    xn]

    =

    f′(0)

    2n.

    点评:

    本题考点: 求函数极限.

    考点点评: 此题是定积分的第一类换元积分法和求极限的洛必达法则的综合,对这两个基础知识点要熟练掌握.