解题思路:要求limx→0F(x)x2n,必须先把函数F(x)的表达式求出来,而F(x)又要通过换元法将其表达式化简,然后再代入极限中利用洛必达法则计算即可.
∵F(x)=
∫x0tn−1f(xn−tn)dt=−
1
n
∫x0f(xn−tn)d(xn−tn),
令:u=xn-tn,则:
F(x)=−
1
n
∫0xnf(u)du=
1
n
∫xn0f(u)du,
∴
lim
x→0
F(x)
x2n=
lim
x→0
1
n
∫xn0f(u)du
x2n
=[1/n
lim
x→0
nxn−1f(xn)
2nx2n−1]
=[1/2n
lim
x→0
f(xn)
xn]
=[1/2n
lim
x→0
f(xn)−f(0)
xn]
=
f′(0)
2n.
点评:
本题考点: 求函数极限.
考点点评: 此题是定积分的第一类换元积分法和求极限的洛必达法则的综合,对这两个基础知识点要熟练掌握.