Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， P是侧棱CC 1 上的一点，CP=m。 （1）

Answer 1

（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD ₁B ₁相交于点G，

连结OG，因为 PC∥平面

，平面BDD ₁B ₁∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG=

PC=

，

又AO⊥BD，AO⊥BB ₁，

所以AO⊥平面

，

故∠AGO是AP与平面

所成的角。

在Rt△AOG中，tan∠AGO=

，

即m=

，

所以当m=

时，直线AP与平面

所成的角的正切值为

。

（2）可以推测，点Q应当是A ₁C ₁的中点O ₁，

因为 D ₁O ₁⊥A ₁C ₁，且 D ₁O ₁⊥A ₁A ，

所以 D ₁O ₁⊥平面ACC ₁A ₁，

又AP

平面ACC ₁A ₁，

故 D ₁O ₁⊥AP，

那么根据三垂线定理知，D ₁O ₁在平面APD ₁的射影与AP垂直。