Question

（2013•闸北区二模）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系

Answer 1

解题思路：（1）以直线F₁F₂为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为x轴，以与xoy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．设P的坐标为（x，y，z），根据两点间的距离公式，以a、c为参数建立关于x、y、z的等式，再移项、平方，化简整理得二次方程为

x

2

a

2

−

c

2

+

y

2

a

2

+

z

2

a

2

−

c

2

＝1

，即为所求曲面Γ的方程；

（2）根据空间关于原点、坐标轴和坐标平面对称的公式，分别对（1）求出的方程加以验证，可得曲面Γ是关于原点对称、关于三条坐标轴对称，也关于三个坐标平面对称的图形．因此不难作出它的直观图，如图所示．

（1）以两个定点F₁，F₂的中点为坐标原点O，以F₁，F₂所在的直线为y轴，以线段F₁F₂的垂直平分线为x轴，

以与xoy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示

则F₁（0，c，0），F₂（0，-c，0），设P的坐标为（x，y，z），可得

|F₁F₂|=2c＞0，|

PF1|+|

PF2|＝2a(a＞c)，

∴

x2+(y+c)2+z2+

x2+(y−c)2+z2＝2a，

移项得

x2+(y+c)2+z2＝2a−

x2+(y−c)2+z2

两边平方，得∴a

x2+(y−c)

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题给出空间满足到两个定点距离之和为定值的点，求该点的轨迹．着重考查了椭圆的定义、轨迹方程求法和曲线与方程的性质等知识，属于中档题．