Question

如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m

Answer 1

解题思路：由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°-Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°-Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．

m²n+30m+9n≤5m²+6mn+45，

∴分解因式得：（n-5）（m-3）²≤0，

∵n为大于5的实数，

∴m-3=0，∵即：PA=m=3，

∵PA²+PB²=PC²，PA、PB、PC的长为正整数，

∴PB=4，PC=5，

设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，

则∠PAC=60°-Q，

由余弦定理得：cosQ=

AB2+PA2−BP2

2AB•PA=

a2−7

6a，（1）

cos（60°-Q）=

PA2+AC2−PC2

2PA•AC=

a2−16

6a，（2）

而cos（60°-Q）=cos60°cosQ-sin60°sinQ，

=[cosQ/2]-

3sinQ

2=

a2−16

6a，（3）

将（1）代入（3）得：

1

2(a2−7)

6a-

3sinQ

2=

a2−16

6a，

解得：sinQ=

25−a2

6

3a，

∵（sinQ）²+（cosQ）²=1，

∴(

25−a2

6

点评：

本题考点： 勾股定理的逆定理；因式分解-提公因式法；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．

考点点评： 本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．