Question

（2006•北京）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，

Answer 1

解题思路：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x₀的值；

（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．

（Ⅰ）由图象可知，在（-∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．

在（2，+∝）上f'（x）＞0．

故f（x）在（-∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．

因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x₀=1．

（Ⅱ）f'（x）=3ax²+2bx+c，

由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，

得

3a+2b+c＝0

12a+4b+c＝0

a+b+c＝5

解得a=2，b=-9，c=12．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．