解题思路：（1）根据对数函数的性质可知，真数恒大于零，建立不等关系，解之即可；
（2）在定义域（0，+∞）内任取两个值x1，x2，并规定大小，然后将它们的函数值进行作差比较，确定符号，根据单调性的定义可知该函数的单调性；
（3）根据题意可转化成
lg[
a
x
−(
1
2
)
x
]＞0＝lg1，即
a
x
−(
1
2
)
x
＞1
对x∈[1，+∞）恒成立，只需研究
y＝
a
x
−
(
1
2
)
x
在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．
(1).2x＞(
1
2)x，即2x＞2−x⇒x＞−x，
∴x＞0．f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞）．任取0＜x1＜x2，
则g（x1）-g（x2）=ax1−(
1
2)x1−ax2+(
1
2)x2＝(ax1−ax2)+(
1
2)x2−(
1
2)x1，
由于a＞1，有ax1＜ax2，(
1
2)x2＜(
1
2)x1，
∴y1-y2＜0，即y1＜y2
∴g(x)＝ax−(
1
2)x在其定义域上是增函数．（也可：由a＞1，知ax递增，0.5x递减，-（0.5）x也递增，故g（x）递增）
（3）依题意，lg[ax−(
1
2)x]＞0＝lg1，即ax−(
1
2)x＞1对x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1时，y＝ax−(
1
2)x在[1，+∞) 上递增，
∴f(1)＝lg(a−
1
2)＞0，得a−
1
2＞1，∴a＞
3
2．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．
考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及指数函数的单调性和对数函数的定义域，属于基础题．