Question

已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在

Answer 1

（1）由题意知f（1）=1+2b+c=0，

∴c=-1-2b

记g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1

则g（-3）=5-7b＞0

g（-2）=1-5b＜0∴[1/5＜b＜

5

7]

g（0）=-1-b＜0

g（1）=b+1＞0 即b∈（[1/5，

5

7]）．（7分）

（2）令u=f（x）．∵0＜[1/5＜b＜

5

7＜1

∴log_bu在（0，+∞）是减函数

而-1-c=2b＞-b，函数f（x）=x²+2bx+c的对称轴为x=-b

∴f（x）在区间（-1-c，1-c）上为增函数，

从而F（x）=log_bf（x）在（-1-c，1-c）上为减函数

且f（x）在区间（-1-c，1-c）上恒有f（x）＞0，

只需f（-1-c）≥0，

且c=-2b-1 （

1

5＜b＜

5

7]） 所以?

17

7＜c≤?2．（13分）