Question

过椭圆2X平方+Y平方=2的一个焦点的直线交椭圆于A.B两点求三角形AOB面积的最大值

Answer 1

记焦点为F,三角形AOB的面积,等于三角形AOF与三角形BOF的面积和,

三角形AOF的面积=c*A点的横坐标的绝对值/2

三角形BOF的面积=c*B点的横坐标的绝对值/2

所以,只要AB两点的横坐标的差的绝对值最大就行.

设AB:y=kx+1

联立,则(2+k^2)x^2+2kx-1=0

(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8(k^2+1)/(k^2+2)^2

设k^2+1=t

则,(x1-x2)^2=8t/(t+1)^2=8/(t+1/t+2)