已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[−32,2]上的最大值为1,求实数a的值.

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  • 解题思路:因为当a等于0时,函数在区间

    [−

    3

    2

    ,2]

    上的最大值不为1,所以得到a不等于0,即可得到函数为二次函数,找出f(x)的对称轴方程,分三种情况考虑:当f(-[3/2])等于1时,代入函数解析式即可求出a的值,然后求出对称轴方程,经过判断发现a要小于0时,顶点取得最大值,与f(-[3/2])等于1矛盾,不合题意;当f(2)等于1时,代入函数解析式即可求出a的值,同理求出函数的对称轴方程,判断f(2)为最大值符合题意;当顶点为最高点时,得到f(x0)=1,代入解析式即可求出a的值,经过验证得到满足题意的a的值,综上,得到满足题意的所有a的值.

    a=0时,f(x)=-x-3,f(x)在[−

    3

    2,2]上不能取得1,

    故a≠0,则f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的对称轴方程为x0=[1−2a/2a],

    ①令f(−

    3

    2)=1,解得a=-[10/3],

    此时x0=-[23/20∈[−

    3

    2,2],

    ∵a<0,∴f(x0)最大,所以f(−

    3

    2)=1不合适;

    ②令f(2)=1,解得a=

    3

    4],

    此时x0=-[1/3∈[−

    3

    2,2]

    因为a=

    3

    4>0,x0=−

    1

    3∈[−

    3

    2,2]且距右端2较远,所以f(2)最大合适;

    ③令f(x0)=1,得a=

    1

    2(−3±2

    2),经验证a=

    1

    2(−3−2

    2)

    综上,a=

    3

    4]或a=

    1

    2(−3−2

    2).

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 此题考查学生掌握二次函数的图象与性质,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合题.解题的关键是找出对称轴与区间的关系.