Question

求解常微分方程[dy/dx＝x3y3

Answer 1

解题思路：首先将微分方程变形成一阶线性微分方程的形式，然后根据公式y=e^{-∫P（x）dx}（∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C）即可求解．

由

dy

dx+xy＝x3y3，得y−3

dy

dx+xy−2＝x3．

令y^-2=u，则

−2y−3

dy

dx＝

du

dx]．

即

du

dx−2xu＝−2x3．

这是一阶线性微分方程，其中P（x）=-2x，Q（x）=-2x³，

∴∫P(x)dx＝−x2，

∫Q(x)e∫P(x)dxdx＝−2∫x3e−x2dx＝∫x2de−x2u＝ex2(x2e−x2+e−x2+C)

∴原方程的通y−2＝ex2(x2e−x2+e−x2+C)．

点评：

本题考点： 一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 此题考查了一阶非齐次线性微分方程的解法，这是基础知识点，要熟练掌握．但首先要变形才能使用．