Question

已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0

Answer 1

解题思路：（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．

（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2^x＞-2b•3^x，再根据a的正负性得

(

2

3

)

x

＞[−2b/a]或

(

2

3

)

x

＜[−2b/a]；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．

（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2^x与y=b•3^x均为增函数，所以f（x）=a•2^x+b•3^x在R上为增函数；

②若a＜0，b＜0，则y=a•2^x与y=b•3^x均为减函数，所以f（x）=a•2^x+b•3^x在R上为减函数．

（2）①若a＞0，b＜0，

由f（x+1）＞f（x）得a•2^x+1+b•3^x+1＞a•2^x+b•3^x，

化简得a•2^x＞-2b•3^x，即(

2

3)x＞[−2b/a]，

解得x＜log

2

3[−2b/a]；

②若a＜0，b＞0，

由f（x+1）＞f（x）可得(

2

3)x＜[−2b/a]，

解得x＞log

2

3[−2b/a]．

点评：

本题考点： 指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．