Question

若抛物线y=-x2+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线y=x2有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

解题思路：用配方法将抛物线y=-x²+2ax+b写成顶点式，求出顶点坐标，代入直线mx-y-2m+1=0中，再联立两条抛物线的解析式，当两抛物线有交点时，△≥0，解不等式即可．

∵y=-x²+2ax+b=-（x-a）²+a²+b，

∴顶点坐标为（a，a²+b），

代入mx-y-2m+1=0中，得ma-（a²+b）-2m+1=0，

即b=ma-a²-2m+1，

联立

y=- x2+2ax+b

y=x2，

解得-2x²+2ax+b=0，

∵两抛物线有公共点，

∴△=（2a）²-4×（-2）×b≥0，

即a²+2b≥0，

a²+2（ma-a²-2m+1）≥0，

整理，得2（a-2）m≥a²-2，

当a=2时，无解，

当a>2时，

m≥

a2-2

2(a-2)=[1/2][a-2+[2/a-2]+4]≥

2+2，当a=2+

2时取等号；

当a<2时，

m≤

a2-2

2a-4=[1/2][a-2+[2/a-2]+4]≤-

2+2，当a=2-

2时取等号．

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了抛物线的顶点坐标的求法，两抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式的相关知识，分类讨论问题．