Question

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，

Answer 1

解题思路：（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]．由此能求出S（4）．

（2）由S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，知S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），由此能推导出

S

(n)

＝

4

n−1

+

4

n−2

+…+

4

1

+

4

0

+1＝

4

n

+2

3

．

（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．

S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]

=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]

=4³+S（3）

=4³+4²+S（2）

=4³+4²+4¹+S（1）=86．

（2）S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，

∴S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），

又S₁=N（1）=1，

∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=

4n+2

3．

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比当选列的前n项和公式、通项公式的灵活运用，注意总结规律，认真解答．