行列式可以按行展开：逐次从第一行降阶展开,第一次出现(-1)^(n+1),第二次出现(-1)^n,第三次出现(-1)^(n-1),…最后一次出现(-1)^3.因此,系数的符号为
(-1)^[(n+1)+n+…+3]=(-1)^[(n+1+3)(n-1)/2=(-1)^[n(n-1)/2].
另一种方法：对换行列式两行改变符号! 先用第一行与第二行交换,再用新的第二行与第三行交换,…,直到把原来的第一行交换到最后一行,共交换了n-1次； 把新的第一行如上进行交换到最后第二行,又交换了n-2次；…；最后交换一次.这时就成了主对角行列式了.总共交换了
(n-1)+(n-1)+…+1次,即交换了n(n-1)/2次,所以,符号变为(-1)^[n(n-1)/2].