Question

设数列{an}满足条件a1=8，a2=0，a3=-7，且数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得数列{c_n}是等差数列，求出首项c₁=a₂-a₁，c₂=a₃-a₂，从而可求公差d=c₂-c₁，根据等差数列的通项公式可求

（2）由题意可得

b

n

＝(n−9)•

2

n

，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和

（1）∵数列{a_n+1-a_n}是等差数列，c_n=a_n+1-a_n

∴数列{c_n}是等差数列，首项c₁=a₂-a₁=-8，c₂=a₃-a₂=-7

∴公差d=c₂-c₁=-7-（-8）=1

∴c_n=c₁+（n-1）d=-8+（n-1）×1=n-9

（2）∵bn＝(n−9)•2n

∴S_n=（-8）•2+（-7）•2²+…+（n-9）•2ⁿ

2S_n=（-8）•2²+（-7）•2³+…+（n-9）•2ⁿ⁺¹

两式相减可得，-S_n=（-8）•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n-9）•2ⁿ⁺¹

=−16+

4(1−2n−1)

1−2−(n−9)•2n+1

=-16+2ⁿ⁺¹-4-（n-9）•2ⁿ⁺¹

∴Sn＝20+(n−10)•2n+1

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用是求解本题的关键