已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1)

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)不等式即

    (

    log

    2

    1+x

    1−x

    )

    2

    -

    log

    2

    1+x

    1−x

    -2>0,解一元二次不等式求得①

    log

    2

    1+x

    1−x

    >log24,

    或②

    log

    2

    1+x

    1−x

    log

    2

    1

    2

    .分别求得①②的解集,再取并集,即得所求.

    (Ⅱ)分a>1和0<a<1两种情况,利用函数的单调性分别求得最小值,再根据最小值为4,求得a的值.

    (Ⅰ)∵函数f(x)=(logax)2-logax-2,故当a=2时,f(x)=(log2x)2-log2x-2.

    故f([1+x/1−x])=(log2

    1+x

    1−x)2-log2

    1+x

    1−x-2,故关于x的不等式f([1+x/1−x])>0,

    即 (log2

    1+x

    1−x)2-log2

    1+x

    1−x-2>0.

    令t=log2

    1+x

    1−x,则不等式即 t2-t+2>0,即 (t-2)(t+1)>0.

    解得 t>2,或t<-1,故有 log2

    1+x

    1−x>2,或 log2

    1+x

    1−x<-1,

    即 ①log2

    1+x

    1−x>log24,或②log2

    1+x

    1−x<log2

    1

    2.

    解①求得 [1+x/1−x]>4,即 [5x−3/x−1<0,解得

    3

    5]<x<1.

    解②求得 0<[1+x/1−x]<[1/2],即

    点评:

    本题考点: 其他不等式的解法;二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 本题主要考查二次函数的性质应用,对数不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.