已知函数f(x)=x2-2tx+1,x∈[2,5]有反函数,且函数f(x)的最大值为8,求实数t的值.

1个回答

  • 解题思路:二次函数存在反函数,则它一定是区间[2,5]上的单调函数,函数f(x)=x2-2tx+1的对称轴为x=t,通过讨论对称轴与区间[2,5]的关系,可求函数的最大值,函数f(x)的最大值为8,解方程可求得t值

    因为函数有反函数,所以在定义域内是一一对应的函数f(x)=x2-2tx+1的对称轴为x=t,所以t≤2或t≥5

    若t≤2,在区间[2,5]上函数是单调递增的,所以f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,解得t=

    9

    5,符合

    若t≥5,在区间[2,5]上函数是单调递减的,所以f(x)max=f(2)=4-4t+1=8,解得t=−

    3

    4,与t≥5矛盾,舍去

    综上所述,满足题意的实数t的值为[9/5]

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质.

    考点点评: 本题考查了函数反函数存在的充要条件以及二次函数最大值的求法,解题时要学会分类讨论,做到不重不漏