Question

设a，b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个实根，则（a-1）2+（b-1）2的最小值是（　　）

Answer 1

解题思路：根据根与系数的关系利用参数m表示出函数的解析式，根据判别式大于等于0，确定参数m的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求出最小值即可．

∵方程x²-2mx+m+6=0的两个根为a，b

∴

a+b＝2m

ab ＝m+6，且△=4（m²-m-6）≥0，

∴y=（a-1）²+（b-1）²=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2=4m²-6m-10=4(m−

3

4)2−

49

4，

且m≥3或m≤-2．

由二次函数的性质知，当m=3时，函数y=4m²-6m-10的取得最小值，最小值为8．

即函数y=（a-1）²+（b-1）²的最小值是8．

故选C．

点评：

本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查的重点是二次函数的最值，考查二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系利用参数m表示出函数的解析式，易错点是忽视参数的范围．