双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆

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  • 解题思路:先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),设出对应的双曲线和椭圆方程,再利用点P(3,4)适合双曲线的渐近线和椭圆方程,就可求出双曲线与椭圆的方程.

    由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),

    可设椭圆方程为

    y2

    a2+

    x2

    a2−25=1,双曲线方程为

    y2

    b2−

    x2

    25−b2=1,

    点P(3,4)在椭圆上,[16

    a2+

    9

    a2−25=1,a2=40,

    双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y=

    4/3]x,分析有

    b2

    25−b2=[16/9],计算可得b2=16

    所以椭圆方程为:

    y2

    40+

    x2

    15=1;双曲线方程为:

    y2

    16−

    x2

    9=1.

    点评:

    本题考点: 圆锥曲线的综合.

    考点点评: 本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法.在求双曲线与椭圆的标准方程时,一定要先分析焦点所在位置,再设方程,避免出错.