8.(1)证明:连接AM.
∵AB=AC,∠BAC=90°,M为BC的中点.
∴AM垂直BC,AM=BC/2=BM;且∠MAF=45°=∠B.
又∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°.
则四边形AEPF为矩形,BE=PE=AF.
∴⊿EBM≌⊿FAM(SAS),ME=MF;∠BME=∠AMF.
故∠EMF=∠BMA=90°,ME⊥MF.
(2)【点P在AB的延长线上】估计是印刷错误,现改为:【点P在BC的延长线上】.
当点P在BC的延长线上时,同理相似可证上述结论依然成立.
若上题中条件更改一下,则:
连接AM.⊿ABC为等腰直角三角形,M为BC中点,连接AM.
则:∠MAF=∠B=45°;AM=BC/2=BM;且AM垂直BC.
∵∠BMA=∠EMF=90°.
∴∠BME=∠AMF.
∴⊿EBM≌⊿FAM(ASA),ME=MF.
即⊿EMF为等腰直角三角形,∠MEF=∠MFE=45°.
(2)还能得出的结论有:BE=CF;⊿EAM≌⊿FCM;S四边形AEMF=(1/2)S⊿ABC.
(3)若AB≠AC.则:BE,EF和CF仍能构成三角形,且是直角三角形.
证明:延长EM到H,使MH=ME,连接FH,CH.
又∵MC=MB;∠CMH=∠BME.
∴⊿CMH≌⊿BME(SAS),CH=BE;∠MCH=∠B.
则∠MCH+∠MCF=∠B+∠MCF=90度,FH²=CH²+CF²=BE²+CF².
又FM垂直平分EH,则EF=FH.(线段垂直平分线的性质)
∴EF²=BE²+CF².