这个积分是没有初等函数表达式的,需要注意的是,不是所有的函数都能够给出初等函数的表达式,对于这个积分就是如此,不过可以利用分部积分进行一些化简,化成Gamma函数的形式,这样就可以在不将积分积出的前提下,对函数进行讨论.
说一下符号的记法,对函数f在a到b区间,关于x积分,就写成:
Integrate[f[x]dx ]
首先,先换下元,令A/x = t,
所以有 dx = d(A/t)
这样函数积分化为:
Integrate[Exp[-A/x]d(x),]
=Integrate[-Exp[-t]d(A/t),]
然后分部积分:
Integrate[-Exp[-t]d(A/t),]
= Exp[-A] + A*Integrate[(1/t)Exp[-t]dt,]
= Exp[-A] + A*Gamma[0,A]
一般的,Gamma函数被定义为:
Gamma[z] = Integrate[(t^(z-1))*Exp[-t]dt,]
叫做Euler Gamma Function(欧拉伽玛函数)
但是很多情况下积分限并不总是从零到正无穷,所以人们又定义了Incomplete Gamma Function(不完全伽玛函数),就是上面推导的那个Gamma[0,A]
这个函数被定义为:
Gamma[z,a] = Integrate[(t^(z-1))*Exp[-t]dt,]
所以Gamma[z] = Gamma[z,0]
Gamma函数的性质,在任何一本高等数学或者数学分析的书中都有讨论,这样这个积分就可以用Gamma函数的形式表达出来,其实,刚换元之后的函数也是Gamma函数,不过是t的负二次方,也就是:
Integrate[Exp[-A/x]d(x),]
= Integrate[-Exp[-t]d(A/t),]
= A*Integrate[(t^(-2))*Exp[-t]dt,]
= A*Gamma(-1,A)
所以这个积分在Gamma函数的意义下,就是:
Integrate[Exp[-A/x]d(x),]
= A*Gamma(-1,A)
= Exp[-A] + A*Gamma[0,A]
上面的讨论需要说明的是,对于一般的Gamma函数Gamma[z,a],z可以在整个复数域上进行取值,Gamma函数本身是个复变函数,并且是解析的,对于z=n取整数的情形,Gamma[n,0]=n!
最后,如果愣要把上面那个函数算出来的话,你可以直接数值计算,拿个计算机就成;也可以拿个数学手册,去查Gamma函数的函数表;也可以自己手算,把那个被积函数Taylor展开成幂级数,一点儿一点儿算:-)